Popis předmětu - B0B01PAN
Přehled studia |
Přehled oborů |
Všechny skupiny předmětů |
Všechny předměty |
Seznam rolí |
Vysvětlivky
Návod
Webová stránka:
https://math.fel.cvut.cz/en/people/sobotik/vyuka/b0b01pan
Anotace:
Předmět je úvodem do teorie míry a integrace a základů funkcionální analýzy. V první části je vyložena teorie Lebesgueova integrálu. Další partie jsou věnovány základním pojmům teorie Banachových a Hilbertových prostorů a jejich spojitosti s harmonickou analýzou. Poslední část se zabývá spektrální teorii operátorů a jejími aplikacemi v maticové analýze.
Osnovy přednášek:
1. | | Algebry a okruhy podmnožin. Měřitelné funkce. Míra na sigma-algebře. |
2. | | Abstraktní Lebesgueův integrál a střední hodnota náhodné veličiny. |
3. | | Lebesgueova míra v R^n (konstrukce z vnější míry). Lebesgueův integrál. |
4. | | Konvergenční věty. |
5. | | Součinová míra. Fubiniho věta. |
6. | | Integrace v R^n - věta o substituci. |
7. | | Normovaný prostor. Úplnost. Omezené operátory na normovaném prostoru. |
8. | | Prostor se skalárním součinem. Hilbertův prostor. Projekční věta. |
9. | | Prostor L^2(R) jako Hilbertův prostor. Hustota diferencovatelných funkcí s kompaktním nosičem. Fourierova transformace v L^2(R). Plancherelova věta. |
10. | | Spektra operátorů na Hilbertově prostoru. Základní třídy operátorů na Hilbertově prostoru: samoadjungovaný, pozitivní, unitární operátor, projekce. |
11. | | Diagonalizace normálního operátoru a matice. |
12. | | Rozklady matic a operátorů - spektrální, polární, SVD. |
13. | | Funkce operátoru a matice. |
14. | | Rezerva. |
Osnovy cvičení:
1. | | Algebry a okruhy podmnožin. Měřitelné funkce. Míra na sigma-algebře. |
2. | | Abstraktní Lebesgueův integrál a střední hodnota náhodné veličiny. |
3. | | Lebesgueova míra v R^n (konstrukce z vnější míry). Lebesgueův integrál. |
4. | | Konvergenční věty. |
5. | | Součinová míra. Fubiniho věta. |
6. | | Integrace v R^n - věta o substituci. |
7. | | Normovaný prostor. Úplnost. Omezené operátory na normovaném prostoru. |
8. | | Prostor se skalárním součinem. Hilbertův prostor. Projekční věta. |
9. | | Prostor L^2(R) jako Hilbertův prostor. Hustota diferencovatelných funkcí s kompaktním nosičem. Fourierova transformace v L^2(R). Plancherelova věta. |
10. | | Spektra operátorů na Hilbertově prostoru. Základní třídy operátorů na Hilbertově prostoru: samoadjungovaný, pozitivní, unitární operátor, projekce. |
11. | | Diagonalizace normálního operátoru a matice. |
12. | | Rozklady matic a operátorů - spektrální, polární, SVD. |
13. | | Funkce operátoru a matice. |
14. | | Rezerva. |
Literatura:
[1] | | Rudin, W.: Analýza v reálném a komplexním oboru, Academia, 1977 |
[2] | | Kreyszig, E.: Introductory functional analysis with applications, Wiley 1989 |
[3] | | Lukeš, L.: Jemný úvod do funkcionální analýzy, Karolinum, 2005 |
[4] | | Meyer, C.D.: Matrix analysis and applied linear algebra, SIAM 2001. |
Požadavky:
Předmět je zakončen standardně zápočtem a zkouškou. Podmínkou pro získání zápočtu je aktivní účast na výuce. Hodnocení předmětu bude záviset na zkoušce samotné. Zkouška je ústní a je při ní zkoušena probraná látka. Další informace viz
https://math.fel.cvut.cz/en/people/sobotik/vyuka/b0b01pan
Poznámka:
Předmět bude vyučován pouze v prezenční formě bez anglické verze. |
Předmět je zahrnut do těchto studijních plánů:
Stránka vytvořena 31.10.2024 17:51:58, semestry: Z,L/2024-5, L/2023-4, Z/2025-6, připomínky k informační náplni zasílejte správci studijních plánů |
Návrh a realizace: I. Halaška (K336), J. Novák (K336) |